เทคนิคการคูณเลขเร็ว  

วิธีคูณเลขแบบซ้ายขวา แตกต่างจากวิธีคูณเลขแบบดั้งเดิมที่เราเรียนในโรงเรียนอย่างไร ?

โจทย์ข้อนี้ใช้อธิบายเปรีบบเทียบวิธีคูณแบบดั้งเดิม และวิธีการคูณซ้ายขวาที่นำเสนอในบทความนี้ วิธีหาผลคูณแบบดั้งเดิม เริ่มจากการหาผลคูณทีละหลัก จากขวาไปซ้าย ถ้าได้ผลคูณเป็นเลข 2 หลัก จะเก็บหลักหน่วยไว้เป็นผลคูณ แล้วทดหลักสิบไปหลักถัดไป   ผลคูณของหลักหน่วยคือ 6 x 3 = 18 ใส่ 8 ที่หลักหน่วยแล้วทด 1 ไปหลักสิบ

    

ผลคูณของหลักสิบคือ 7 x 3 = 21 บวก 1 ที่ทดมาจากหลักหน่วย 21 + 1 = 22  ใส่ 2 ที่หลักสิบ แล้วทด 2 ไปหลักร้อย

หลักสิบของผลคูณคือ '2' ซึ่งเกิดจาก 1 + 1 '1' ตัวแรกคือหลักหน่วยของ 21                                            '1' ตัวที่สองคือหลักสิบของ 18 เรียกเลข 7 ว่าเลขซ้ายเพราะอยู่ด้านซ้ายมือ เรียกเลข 6 ว่าเลขขวาเพราะอยู่ด้านขวามือ 21 เกิดจาก 3 คูณเลขซ้าย (3x7) 18 เกิดจาก 3 คูณเลขขวา (3x6) ตัวอักษร "น" ที่อยู่เหนือลูกศรที่ชี้เลขซ้ายหมายถึงเมื่อคูณแล้วให้เก็บหลักหน่วยไว้ (21) ตัวอักษร "ส" ที่อยู่เหนือลูกศรที่ชี้เลขขวาหมายถึงเมื่อคูณแล้วให้เก็บหลักสิบไว้ (18) คำตอบ(ผลคูณ) ได้จากการนำเลขที่เก็บไว้มารวมกัน 1 + 1 = 2

ผลคูณของหลักร้อย ถ้าหาตามวิธีแบบดั้งเดิมคือ 3 x 3 = 9 บวก 2 ที่ทดมาจากหลักหน่วย 9 + 2 = 11

การหาผลคูณของหลักร้อย ตามวิธีคูณซ้ายขวา ทำดังนี้ 1. นำ 3 ไปคูณเลขซ้าย 3x3 = 9 แล้วเก็บหลักหน่วยไว้คือ 9 2. นำ 3 ไปคูณเลขขวา 3x7 = 21 แล้วเก็บหลักสิบไว้คือ 2 3. นำเลขที่เก็บไว้มารวมกัน 9 + 2 = 11

การหาผลคูณของแต่ละหลักให้ปฏิบัติ 3 ขั้นตอนคือ
1. คูณซ้ายเก็บ(หลัก)หน่วย                                               
2. คูณขวาเก็บ(หลัก)สิบ
3. นำตัวเลขที่เก็บไว้มาบวกกัน

ตัวอย่างต่อไปแสดงขั้นตอนการหาคำตอบของ 578 x 4 โดยวิธีคูณซ้ายขวา

เริ่มแรกใส่ 0 หน้าตัวตั้งเพื่อกำหนดจุดสิ้นสุดของการคูณ หาผลคูณของหลักหน่วยโดยคูณ 2 ครั้งคือคูณซ้าย และคูณขวาเลซ้ายคือ 8 เลขขวาไม่มี ซึ่งหมายถึง 0 ผลคูณซ้ายคือ 8 x 4 = 32 เก็บหลักหน่วยไว้คือ 2 ผลคูณขวาคือ 0 x 4 = 00 เก็บหลักสิบไว้คือ 0 นำตัวเลขที่เก็บไว้มาบวกกัน 2 + 0 = 2

หาผลคูณของหลักสิบโดยคูณ 2 ครั้งคือคูณซ้าย และคูณขวา เลขซ้ายคือ 7 เลขขวาคือ 8 ผลคูณซ้ายคือ 7 x 4 = 28 เก็บหลักหน่วยไว้คือ 8 ผลคูณขวาคือ 8 x 4 = 32 เก็บหลักสิบไว้คือ 3 นำตัวเลขที่เก็บไว้มาบวกกัน 8 + 3 = 11 ใส่ 1 ที่หลักสิบ แล้วทด 1 ไปหลักร้อย

หาผลคูณของหลักร้อยโดยคูณ 2 ครั้งคือคูณซ้าย และคูณขวา เลขซ้ายคือ 5 เลขขวาคือ 7 ผลคูณซ้ายคือ 5 x 4 = 20 เก็บหลักหน่วยไว้คือ 0 ผลคูณขวาคือ 7 x 4 = 28 เก็บหลักสิบไว้คือ 2 นำตัวเลขที่เก็บไว้มาบวกกัน 0 + 2 = 2 บวก 1 ที่ทดมาจากหลักสิบ 2 + 1 = 3

หาผลคูณของหลักพันโดยคูณ 2 ครั้งคือคูณซ้าย และคูณขวา เลขซ้ายคือ 0 เลขขวาคือ 5 ผลคูณซ้ายคือ 0 x 4 = 00 เก็บหลักหน่วยไว้คือ 0 ผลคูณขวาคือ 5 x 4 = 20 เก็บหลักสิบไว้คือ 2 นำตัวเลขที่เก็บไว้มาบวกกัน 0 + 2 = 2 คำตอบของ 578 x 4 คือ 2312

การหาผลคูณโดยวิธีคูณซ้ายขวา ต้องคูณสองครั้ง คือคูณซ้ายและคูณขวา เพื่อหาคำตอบแต่ละหลัก ดังนั้นถ้าตัวคูณเป็นเลขหลักเดียว การหาผลคูณแบบดั้งเดิมให้คำตอบเร็วกว่า เพราะแต่ละหลักคูณเพียงครั้งเดียว แล้วจำตัวทดไว้ เพื่อนำไปบวกกับผลคูณของหลักถัดไป
                             

ประโยชน์ของวิธีคูณซ้ายขวาจะเห็นได้ชัดเมื่อตัวคูณเป็นเลขตั้งแต่ 2 หลักขึ้นไป โดยใช้งานร่วมกับ วิธีคูณสั้น

ตัวอย่างนี้แสดงการหาผลคูณของ 1647 x 32 โดยใช้วิธีคูณสั้นร่วมกับวิธีคูณซ้ายขวา ใส่ 00 ไว้หน้าตัวตั้งเพื่อกำหนดจุดสิ้นสุดของการคูณ (จำนวน 0 เท่ากับจำนวนหลักของตัวคูณ) ตัวคูณเป็นเลข 2 หลัก ดังนั้นคำตอบ(ผลคูณ) แต่ละหลักเกิดจากการจับคู่ระหว่างตัวตั้งและตัวคูณ 2 คู่ คือคู่นอกและคู่ใน นำผลคูณของสองคู่มาบวกกันได้เป็นผลคูณของหลักนั้น คู่แรก (คู่นอก) คือ 2 x 7 ซึ่งหาผลคูณโดยคูณซ้ายขวา ผลคูณเลขซ้ายคือ 2 x 7 = 14 เก็บหลักหน่วยไว้คือ 4 ผลคูณเลขขวาคือ 2 x 0 = 00 เก็บหลักสิบไว้คือ 0 นำตัวเลขที่เก็บไว้มาบวกกัน 4 + 0

มาๆๆเรียนรู้เทคนิคเพิ่มเติ่มกันค่ะ ^^

ที่มา http://www.mathsmethod.com/speedupmultiplyleftright.php

วันที่ 15 กันยายน 2556

ประวิตินักเรขาคณิตศาสตร์

พีทาโกรัส 

    พีทาโกรัส เกิดที่กรีซ ศึกษาที่อียิปต์และบาบิโลเนีย เขาเป็นนักปรัชญาที่ศึกษาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีของเขามีอยู่ว่า รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสองมีค่าเท่ากับผลบวกกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ และทำให้รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นสัดส่วน 3:4:5 เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่รู้จักกันทั่วไป

ปาสคาล               

    เบลส ปาสคาล เป็นนักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ นักเทววิทยา และนักอักษรศาสตร์ เขาสนใจเรื่องเรขาคณิตมาตั้งแต่สมัยที่ยังเด็กมาก เมื่อเขาอายุได้ 6 ขวบ บิดาของเขาได้นำหนังสือคณิตศาสตร์ไปจากเขา เพราะคิดว่าเขายังเด็กเกินไปที่จะศึกษาวิชายากๆ เช่นนี้ แต่เขาแอบเอากลับมาศึกษาอีก และเมื่อเขาอายุได้ 12 ขวบ เขาได้ค้นพบว่า มุมภายในทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศาเสมอไม่ว่าจะเป็นรูปสามเหลี่ยมชนิดใด

อาร์คิมีดีส

    อาร์คิมีดีส เป็นนักค้นคว้าที่เรียนทั้งคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ เขาค้นพบวิธียกของหนักๆ ได้โดยใช้คานงัด เขาสาธิตด้วยการยกเรือทั้งลำ เขาบอกว่าแม้กระทั่งโลกของเราก็สามารถยกได้ ถ้ามีคานที่ยาวพอและมีจุดที่จะยืนงัดได้ เขาศึกษาเรื่องรูปวงกลม โดยคิดสูตรพื้นที่และเส้นรอบวง ตอนบั้นปลายชีวิตของเขาถูกทหารโรมันที่เข้ามารุกรานประเทศแทงตายขณะที่นั่งพิจารณารูปวงกลมที่วาดบนพื้นห้องในบ้านของเพื่อนคนหนึ่ง
ธาลิส

    เธลีส เป็นนักปรัชญาชาวกรีก เป็นนักวิทยาศาสตร์ และคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง เขาได้สอนวิธีการคำนวณ ความสูงของพีรามิดที่อียิปต์ โดยการวัดระยะทางของเงาที่เกิดขึ้นที่ฐานของพีรามิด กับเงาของหลักที่รู้ความสูงแน่นอน และเขายังได้ค้นพบทฤษฎีเกี่ยวกับเรขาคณิตอีก 5 ทฤษฎี คือ

1.วงกลมใด ๆ ถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันโดยเส้นผ่านศูนย์กลาง 
2.มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีค่าเท่ากัน 
3.เส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมตรงข้ามที่เกิดขึ้นย่อมเท่ากัน 
4.สามเหลี่ยมสองรูป ถ้ามีมุมเท่ากันสองมุม และด้านเท่ากันหนึ่งด้าน สามเหลี่ยมทั้งสองคล้ายกัน 
5.มุมภายในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก 

    คณิตศาสตร์ คือ ?    

                 ในอดีตผู้คนจะใช้สิ่งของแทนจำนวนที่จะนับยิ่งนานเข้าจำนวนประชากรยิ่งมีมากขึ้น ทำให้ผู้คนเริ่มคิดที่จะประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมาแทนการนับที่ใช้สิ่งของนับแทนจากนั้นก็มีการบวก ลบคูณ และหาร จากนั้นก็ก่อให้เกิดคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่มุ่งค้นคว้าเกี่ยวกับ โครงสร้างนามธรรมที่ถูกกำหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ซึ่งมีการให้เหตุผลที่แน่นอนโดยใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ เรามักนิยามโดยทั่วไปว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบและโครงสร้าง, การเปลี่ยนแปลง, และปริภูมิ กล่าวคร่าวๆ ได้ว่าคณิตศาสตร์นั้นสนใจ "รูปร่างและจำนวน" เนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่านกระบวนการทดลอง บางคนจึงไม่จัดว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาของวิทยาศาสตร์
           

คำว่า "คณิตศาสตร์" (คำอ่าน: คะ-นิด-ตะ-สาด) มาจากคำว่า คณิต (การนับ หรือ คำนวณ) และ ศาสตร์ (ความรู้ หรือ การศึกษา) ซึ่งรวมกันมีความหมายโดยทั่วไปว่า การศึกษาเกี่ยวกับการคำนวณ หรือ วิชาที่เกี่ยวกับการคำนวณ. คำนี้ตรงกับคำภาษาอังกฤษว่า mathematics มาจากคำภาษากรีก μάθημα (máthema) แปลว่า "วิทยาศาสตร์, ความรู้, และการเรียน" และคำว่า μαθηματικός (mathematikós) แปลว่า "รักที่จะเรียนรู้". ในอเมริกาเหนือนิยมย่อ mathematics ว่า math ส่วนประเทศอื่นๆ ที่ใช้ภาษาอังกฤษนิยมย่อว่า maths  ความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ ผ่านทางการวิจัยและการประยุกต์ใช้ คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมืออันหนึ่งของวิทยาศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การคิดค้นทางคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องมีเป้าหมายอยู่ที่การนำไปใช้ทางวิทยาศาสตร์ (ดู คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ และคณิตศาสตร์ประยุกต์) โครงสร้างต่างๆ ที่นักคณิตศาสตร์สนใจและพิจารณานั้น มักจะมีต้นกำเนิดจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และสังคมศาสตร์ โดยเฉพาะฟิสิกส์ และเศรษฐศาสตร์. ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ยังเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ และทฤษฎีการสื่อสาร อีกด้วย

             เนื่องจากคณิตศาสตร์นั้นใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้กิจกรรมทุกอย่างกระทำผ่านทางขั้นตอนที่ชัดเจน เราจึงสามารถพิจารณาคณิตศาสตร์ว่า เป็นระบบภาษาที่เพิ่มความแม่นยำและชัดเจนให้กับภาษาธรรมชาติ ผ่านทางศัพท์และไวยากรณ์บางอย่าง สำหรับการอธิบายและศึกษาความสัมพันธ์ทั้งทางกายภาพและนามธรรม. ความหมายของคณิตศาสตร์นั้นยังมีอีกหลายมุมมอง ซึ่งหลายอันถูกกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับปรัชญาของคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์ยังถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยจำไม่เป็นต้องมีการอ้างถึงใดๆ จากโลกภายนอก. นักคณิตศาสตร์กำหนดและพิจารณาโครงสร้างบางประเภท สำหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ, เนื่องจากโครงสร้างเหล่านี้ อาจทำให้สามารถอธิบายสาขาย่อยๆ หลายๆ สาขาได้ในภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการคำนวณพื้นฐาน

                 นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนก็ทำงานเพื่อเป้าหมายเชิงสุนทรียภาพเท่านั้น โดยมองว่าคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์เชิงศิลปะ มากกว่าที่จะเป็นศาสตร์เพื่อการนำไปประยุกต์ใช้ (ดังเช่น จี. เอช. ฮาร์ดี ที่ได้กล่าวไว้ในหนังสือ A Mathematician's Apology) ; แรงผลักดันในการทำงานเช่นนี้ มีลักษณะไม่ต่างไปจากที่กวีและนักปรัชญาได้ประสบ และเป็นสิ่งที่ไม่สามารถอธิบายได้. อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ กล่าวว่า คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ ในหนังสือ Ideas and Opinions ของเขา

องค์ความรู้ในคณิตศาสตร์รวมกันเป็นสาขาวิชา หลักการเบื้องต้นที่เริ่มจากเลขคณิตไปยังการประยุกต์ใช้งานพื้นฐานของสาขาคณิตศาสตร์ ที่รวมพีชคณิต เรขาคณิต ตรีโกณมิติ สถิติศาสตร์ และแคลคูลัส เป็นหลักสูตรแกนในการศึกษาขั้นพื้นฐาน แม้ว่าจะได้มีการพัฒนาและขยายขอบเขตไปอย่างมากมายในช่วงเวลาหลายร้อยปี สาขาวิชาคณิตศาสตร์ยังคงถูกจัดว่าเป็นสาขาวิชาเดี่ยว ที่มีลักษณะแตกต่างจากสาขาอื่นๆ                                                               

ที่มา  http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C

 วันที่ 12 กันยายน 2556

คณิตเรื่องง่ายๆ

             เปลี่ยนการเรียนคณิตให้เป็นเรื่องง่าย

“เด็กที่มีความบกพร่องทางด้านคณิตศาสตร์ ความรู้ด้านคณิตศาสตร์จะไม่ได้ตามวัยของเด็ก อย่างเช่นการบวก ลบ คูณ หาร จำนวนต่างๆ เด็กจะไม่รู้ตามวัยที่ควรจะรู้”

        ส่วนเทคนิค 6 วิธีซึ่งใช้ได้ผลในเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ ประกอบด้วย
                 1.ใช้การละเล่นพื้นบ้าน ใช้เกมการละเล่นพื้นบ้านมาสอนเด็ก ซึ่งจะสอนเรื่องการเปรียบเทียบ การวัดระยะทาง การบวกลบคูณหาร
                  2.สอนเทคนิคการอ่านโจทย์เลข เด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้จะอ่านโจทย์เลขไม่ได้ ซึ่งจะอ่านไม่เข้าใจ ไม่รู้ว่าโจทย์ถามอะไร หมายความอย่างไร เมื่ออ่านโจทย์ไม่ได้ก็จะส่งผลถึงการคิดเลขด้วย ซึ่งเราจะใช้วิธีการทางกราฟิกเข้ามาช่วยในการอ่านโจทย์ปัญหา
                 3.ใช้ศิลปะเข้ามาช่วย เน้นคำถามเชิงเปรียบเทียบและคำถามเชิงเหตุผลแต่ใช้ศิลปะเข้ามาช่วย เราอาจจะสอนเด็กด้วยการปั้นหุ่นยนต์ซึ่งอาจจะมีอุปกรณ์เป็นดินน้ำมันหรือแป้งโด กระดาษ จากนั้นคุณครูอาจบอกว่า มีแป้งโดกับกระดาษ และถ้านำของสองสิ่งนี้ไปวางที่ประตูแล้วมีลมพัดมา นักเรียนคิดว่าระหว่างแป้งโดกับกระดาษอะไรจะปลิวไป นักเรียนที่มีปัญหาด้านความบกพร่องทางการเรียนรู้จะเปรียบเทียบไม่ได้ว่าอะไรหนักหรือเบากว่ากัน ลักษณะการสอนเช่นนี้เป็นการสอนเปรียบเทียบและต้องสอนต่อว่าถ้ากระดาษปลิวเพราะอะไร
                 4.การอ่านการ์ตูน เราต้องทำเป็นเรื่องราวสอนเกี่ยวกับตัวเลข บวก ลบ คูณหารเด็กจะสนุกกับภาพการ์ตูนและจะเรียนรู้ได้มากขึ้น
                  5.การเล่นบทบาทสมมติ อาจจะให้เด็กนักเรียนในชั้นออกมานับหนังสือ 20 เล่ม จากนั้นให้เพื่อนออกมาหน้าชั้นเรียนอีก 5 คน นักเรียนคิดว่าจะได้คนละกี่เล่ม จากนั้นเด็กก็จะเริ่มแจกจนหนังสือหมด แล้วเด็กจะได้คำตอบเป็นการสอนเรื่องการหาร
                 6.เกม ซึ่งจะใช้เกมเศรษฐีและการทอยลูกเต๋า เป็นการสอนเรื่องตัวเลข เด็กจะรู้ว่าแต้มไหนมากกว่าแต้มไหนน้อยกว่า
                การสอนวิชาการเพียงอย่างเดียวจะใช้ไม่ได้ผลกับเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ เด็กจะชอบความสนุกต้องออกแบบการเรียนการสอนที่เน้นทั้งการเรียนและการเล่นให้อยู่ด้วยกัน การเรียนลักษณะนี้เป็นรูปธรรมชัดเจน เด็กจะเข้าใจง่ายเรียนรู้ได้เร็ว
                  สิ่งที่น่าห่วงก็คือ ครูไทยบางคนไม่ชอบการปรับการเรียนการสอน บางคนติดอยู่กับขั้นตอนมากเกินไป และจะไม่สนุกในการทำกิจกรรมกับเด็กแต่ถ้าเป็นครูที่เข้าใจและสอนไปเล่นไปก็จะสอนเด็กกลุ่มนี้ได้ดี

                 "ณ ปัจจุบันนี้คิดว่าพอจะมีครูที่เข้าใจเด็กและสอนด้วยความเข้าใจว่าเด็กมีความหลากหลาย ต้องปรับวิธีการสอนให้หลากหลายมากขึ้น คิดว่ามีมากขึ้นกว่าในอดีต และวิธีการสอนเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ก็เป็นอีกวิธีการหนึ่งที่ครูไทยควรจะได้เรียนรู้เพื่อปรับใช้ในการสอนต่อไป”

ที่มา  http://www.gotoknow.org/posts/204819

วันที่ 12 กันยายน 2556

ลำดับอนุกรม

วันที่ 14 กันยายน 2556

ลำดับอนุกรม

                     ลำดับ (Sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก n ตัวแรก หรือ มีโดเมนเป็นจำนวนนับ

(หรือ กล่าวง่ายๆว่าลำดับ คือ ตัวเลขที่เรียงกันอย่างมีแบบแผน) ซึ่งเรามักจะนิยมใช้ตัวแปร n แทนตัวแปร x

สำหรับพจน์ที่ 1 ของลำดับเราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a1 และเขียนแทนพจน์ที่ n หรือ พจน์ทั่วไปของ

ลำดับด้วย an  การเขียนแสดงลำดับอาจเขียนได้ 3 วิธี คือ

- { (1 , a1) , (2 , a2) , (3 , a3) , ... , (n , an) } - a1, a2, a3, ... , an

 - เขียนแสดงเฉพาะพจน์ทั่วไป เช่น an = sin(n π )  เราสามารถแบ่งลำดับได้เป็น 2 ประเภท คือ

- ลำดับจำกัด (finite sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น { 1 , 2 , 3 , 4 , ... , n } (มีจำนวนพจน์

เป็นจำนวนจำกัด) เช่น ลำดับ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 เป็นลำดับจำกัดที่มี 5 พจน์ หรือ 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ... , 2n

เป็นลำดับจำกัดที่มี n พจน์

- ลำดับอนันต์ (infinite sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนนับ N (มีจำนวนพจน์เป็นอนันต์)

 เช่น ลำดับ 1 , 4 , 9 , ... , n2, ...

ถ้าหากโจทย์กำหนดมาเฉพาะพจน์ทั่วไปของลำดับมาให้ และไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมน ให้ถือว่าลำดับนั้นเป็นลำดับอนันต์

1.1 ลำดับเลขคณิต (Arithmetic sequence)

 ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างที่เกิดจากการนำพจน์ที่ n+1 ลบกับพจน์ที่ n ได้เป็นค่าคงตัว และ

เรียกค่าคงตัวนี้ว่า ผลต่างร่วม (d : common difference)

        

                                                                                                                                                                                                                        1.2 ลำดับเรขาคณิต (Geometric sequence)

 ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนที่เกิดจากการนำพจน์ที่ n+1 หารด้วยพจน์ที่ n ได้เป็นค่าคง

ตัว ตัว และเรียกค่าคงตัวนี้ว่า อัตราส่วนร่วม (r : common ratio)

ที่มา  http://www.clipvidva.com/wp-content/uploads/downloads/2012/05/SEQUENCESERIES-WWW.CLIPVIDVA.COM_.pdf

การแยกตัวประกอบของพหุนาม

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

        
               1.การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามในรูปผลคูณของพหุนามที่มีดีกรี
 ต่ำกว่าตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป

2. การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติแจกแจง ทำได้โดยการนำตัวประกอบร่วมของทุกพจน์

ของพหุนามเขียนแยกออกมาหน้าวงเล็บ เช่น

10x5y2 – 12x2y6 = 2x2y2(5x3 – 6y4)

ตรวจสอบการแยกตัวประกอบทำได้โดยการคูณแจกแจง แล้วผลคูณเท่ากับพหุนามเดิม

2x2y2(5x3 - 6y4) = (2x2y2)(5x3) + (2x2y2)(-6y4) = 10x5y2 – 12x2y6

 3.พหุนามซึ่งเขียนในรูปทั่วไป  x2 + bx + c

สามารถแยกตัวประกอบได้ในรูป (x + m)(x + n)โดย m + n = b และ m n = c
เช่น x2 – 3x – 10 = (x - 5)(x + 2) 

                4.พหุนามในรูปกำลังสองสมบูรณ์ คือ พหุนามที่เขียนในรูป หน้า2 + 2(หน้า)(หลัง) + หลัง2 หรือ หน้า2 – 2(หน้า)(หลัง) + หลัง2 

เช่น  x2 + 8x + 16 = x2 + 2(x)(4) + 42

         x2 – 10x + 25 = x2 – 2(x)(5) + 52

สามารถแยกตัวประกอบของกำลังสองสมบูรณ์โดยใช้สูตร 

การคูณตัวประกอบ

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

หน้า2 + 2(หน้า)(หลัง) + หลัง2 = (หน้า + หลัง)2

A2 – 2AB + B2 = (A - B)2

หน้า2 – 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 = (หน้า - หลัง)2

             5. พหุนามในรูปผลต่างกำลังสอง คือ พหุนามซึ่งเขียนในรูป หน้า2 – หลัง2 

เช่น  x2 – 121 = x2 - 112

สามารถแยกตัวประกอบผลต่างกำลังสองโดยใช้สูตร

          A2 – B2 = (A + B)(A - B)

หน้า2 – หลัง2 = (หน้า + หลัง)(หน้า - หลัง)

                                            การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง 

              1. พหุนามในรูปผลบวกกำลังสาม คือ พหุนามที่เขียนในรูป หน้า3 + หลัง3
 เช่น x3+8 = x3+23

สามารถแยกตัวประกอบโดยใช้สูตร

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

หน้า3 + หลัง3 = (หน้า + หลัง)(หน้า2 – หน้าหลัง + หลัง2)

             2. พหุนามในรูปผลต่างกำลังสาม คือ พหุนามที่เขียนในรูป
หน้า3 - หลัง3
 เช่น  X3 – 1,000 = X3 – 103

สามารถแยกตัวประกอบโดยใช้สูตร

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

หน้า3 – หลัง3 = (หน้า - หลัง)(หน้า2 + หน้าหลัง + หลัง2)

           3. ทฤษฎีเศษเหลือ คือ ทฤษฎีที่ใช้ในการคำนวณหาเศษของการหารพหุนาม

ทฤษฎีเศษเหลือมีทฤษฏีบท ดังนี้ “ ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม x – a โดยที่ a เป็นค่าคงตัวแล้วจะได้เศษเหลือเป็น P(a)”
เช่น การหาร x2 + 2x + 6 ด้วย x – 3

x – a = x – 3 → a = 3

หาเศษจากการหารโดยนำ 3 แทนค่าเป็น x

P(x) = x2 + 2x + 6                                                                          

P(3) = 32 + (2)(3) + 6 = 21

หรือ การหาร 3x2 + 2x + 1 ด้วย x + 1

x – a = x – (-1) → x = -1

หาเศษจากการหารโดยนำ –1 แทนค่าเป็น x

P(x) = 3x2 + 2x + 1

P(-1) = 3(-1)2 + (2)(-1) + 1 = 2

แหล่งที่มา  http://www.mathhousetutor.com/%E0%B8%AA%E0%B8%B9%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82/%E0%B8%A1.%E0%B8%95%E0%B9%89%E0%B8%99/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1.pdf

    

วันที่  6 กันยายน 2556