คณิตศาสตร์น่ารู้: ลำดับอนุกรม

วันที่ 14 กันยายน 2556

ลำดับอนุกรม

ลำดับ (Sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก n ตัวแรก หรือ มีโดเมนเป็นจำนวนนับ

(หรือ กล่าวง่ายๆว่าลำดับ คือ ตัวเลขที่เรียงกันอย่างมีแบบแผน) ซึ่งเรามักจะนิยมใช้ตัวแปร n แทนตัวแปร x

สำหรับพจน์ที่ 1 ของลำดับเราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a1 และเขียนแทนพจน์ที่ n หรือ พจน์ทั่วไปของ

ลำดับด้วย an การเขียนแสดงลำดับอาจเขียนได้ 3 วิธี คือ

- { (1 , a1) , (2 , a2) , (3 , a3) , ... , (n , an) } - a1, a2, a3, ... , an

- เขียนแสดงเฉพาะพจน์ทั่วไป เช่น an = sin(n π ) เราสามารถแบ่งลำดับได้เป็น 2 ประเภท คือ

- ลำดับจำกัด (finite sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น { 1 , 2 , 3 , 4 , ... , n } (มีจำนวนพจน์

เป็นจำนวนจำกัด) เช่น ลำดับ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 เป็นลำดับจำกัดที่มี 5 พจน์ หรือ 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ... , 2n

เป็นลำดับจำกัดที่มี n พจน์

- ลำดับอนันต์ (infinite sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนนับ N (มีจำนวนพจน์เป็นอนันต์)

เช่น ลำดับ 1 , 4 , 9 , ... , n2, ...

ถ้าหากโจทย์กำหนดมาเฉพาะพจน์ทั่วไปของลำดับมาให้ และไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมน ให้ถือว่าลำดับนั้นเป็นลำดับอนันต์

1.1 ลำดับเลขคณิต (Arithmetic sequence)

ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างที่เกิดจากการนำพจน์ที่ n+1 ลบกับพจน์ที่ n ได้เป็นค่าคงตัว และ

เรียกค่าคงตัวนี้ว่า ผลต่างร่วม (d : common difference)

1.2 ลำดับเรขาคณิต (Geometric sequence)

ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนที่เกิดจากการนำพจน์ที่ n+1 หารด้วยพจน์ที่ n ได้เป็นค่าคง

ตัว ตัว และเรียกค่าคงตัวนี้ว่า อัตราส่วนร่วม (r : common ratio)

คณิตศาสตร์น่ารู้