คณิตศาสตร์น่ารู้: การแยกตัวประกอบของพหุนาม

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

1.การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามในรูปผลคูณของพหุนามที่มีดีกรี
ต่ำกว่าตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป

2. การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติแจกแจง ทำได้โดยการนำตัวประกอบร่วมของทุกพจน์

ของพหุนามเขียนแยกออกมาหน้าวงเล็บ เช่น

10x5y2 – 12x2y6 = 2x2y2(5x3 – 6y4)

ตรวจสอบการแยกตัวประกอบทำได้โดยการคูณแจกแจง แล้วผลคูณเท่ากับพหุนามเดิม

2x2y2(5x3 - 6y4) = (2x2y2)(5x3) + (2x2y2)(-6y4) = 10x5y2 – 12x2y6

3.พหุนามซึ่งเขียนในรูปทั่วไป x2 + bx + c

สามารถแยกตัวประกอบได้ในรูป (x + m)(x + n)โดย m + n = b และ m n = c
เช่น x2 – 3x – 10 = (x - 5)(x + 2)

4.พหุนามในรูปกำลังสองสมบูรณ์ คือ พหุนามที่เขียนในรูป หน้า2 + 2(หน้า)(หลัง) + หลัง2 หรือ หน้า2 – 2(หน้า)(หลัง) + หลัง2

เช่น x2 + 8x + 16 = x2 + 2(x)(4) + 42

x2 – 10x + 25 = x2 – 2(x)(5) + 52

สามารถแยกตัวประกอบของกำลังสองสมบูรณ์โดยใช้สูตร

การคูณตัวประกอบ

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

หน้า2 + 2(หน้า)(หลัง) + หลัง2 = (หน้า + หลัง)2

A2 – 2AB + B2 = (A - B)2

หน้า2 – 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 = (หน้า - หลัง)2

5. พหุนามในรูปผลต่างกำลังสอง คือ พหุนามซึ่งเขียนในรูป หน้า2 – หลัง2

เช่น x2 – 121 = x2 - 112

สามารถแยกตัวประกอบผลต่างกำลังสองโดยใช้สูตร

A2 – B2 = (A + B)(A - B)

หน้า2 – หลัง2 = (หน้า + หลัง)(หน้า - หลัง)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง

1. พหุนามในรูปผลบวกกำลังสาม คือ พหุนามที่เขียนในรูป หน้า3 + หลัง3
เช่น x3+8 = x3+23

สามารถแยกตัวประกอบโดยใช้สูตร

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

หน้า3 + หลัง3 = (หน้า + หลัง)(หน้า2 – หน้าหลัง + หลัง2)

2. พหุนามในรูปผลต่างกำลังสาม คือ พหุนามที่เขียนในรูป
หน้า3 - หลัง3
เช่น X3 – 1,000 = X3 – 103

สามารถแยกตัวประกอบโดยใช้สูตร

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

หน้า3 – หลัง3 = (หน้า - หลัง)(หน้า2 + หน้าหลัง + หลัง2)

3. ทฤษฎีเศษเหลือ คือ ทฤษฎีที่ใช้ในการคำนวณหาเศษของการหารพหุนาม

ทฤษฎีเศษเหลือมีทฤษฏีบท ดังนี้ “ ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม x – a โดยที่ a เป็นค่าคงตัวแล้วจะได้เศษเหลือเป็น P(a)”
เช่น การหาร x2 + 2x + 6 ด้วย x – 3

x – a = x – 3 → a = 3

หาเศษจากการหารโดยนำ 3 แทนค่าเป็น x

P(x) = x2 + 2x + 6

P(3) = 32 + (2)(3) + 6 = 21

หรือ การหาร 3x2 + 2x + 1 ด้วย x + 1

x – a = x – (-1) → x = -1

หาเศษจากการหารโดยนำ –1 แทนค่าเป็น x

P(x) = 3x2 + 2x + 1

P(-1) = 3(-1)2 + (2)(-1) + 1 = 2